Calcul infinitésimal Exemples

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Étape 2

La dérivée de $f$ par rapport à $x$ est $f'$ .

$f'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ par rapport à $x$ est $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Étape 3.3.3

Comme $\frac{2}{7 y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{7 y}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{2}{7 y}$ par $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Étape 3.3.6

Associez $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ et $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Étape 3.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Étape 3.3.8

Associez $4$ et $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Étape 3.3.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Étape 3.3.10

Associez $y$ et $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Étape 3.3.11

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Étape 3.3.11.2

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Étape 5

Remplacez $f'$ par $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$