Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = f$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $P$ , la dérivée de $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ par rapport à $P$ est $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ .

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ est $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ où $f (P) = f^{2} P$ et $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ est $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ où $f (P) = f^{2}$ et $g (P) = P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ est $n P^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $f^{2}$ par $1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ est $f' (g (P)) g' (P)$ où $f (P) = P^{2}$ et $g (P) = f$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.8

Réécrivez $\frac{d}{d P} [f]$ comme $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ est $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ où $f (P) = 1 + f$ et $g (P) = 1 - f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez.

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Étape 2.10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - f$ par rapport à $P$ est $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.10.2

Comme $1$ est constant par rapport à $P$ , la dérivée de $1$ par rapport à $P$ est $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.10.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.10.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $P$ , la dérivée de $- f$ par rapport à $P$ est $- \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.11

Réécrivez $\frac{d}{d P} [f]$ comme $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + f$ par rapport à $P$ est $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $P$ , la dérivée de $1$ par rapport à $P$ est $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.15

Réécrivez $\frac{d}{d P} [f]$ comme $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.16

Associez $4$ et $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Étape 2.17

Simplifiez

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Étape 2.17.1

Appliquez la règle de produit à $(1 + f) (1 - f)$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.17.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.6.1.1

Développez $(1 + f) (1 - f)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.17.6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.17.6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.6.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.1.2

Multipliez $- f$ par $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.1.3

Multipliez $f$ par $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.1.5

Multipliez $f$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.6.1.2.1.5.1

Déplacez $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.1.5.2

Multipliez $f$ par $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.2

Additionnez $- f$ et $f$ .

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.3

Développez $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.17.6.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.6.1.4.1

Multipliez $f^{2}$ par $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.2

Multipliez $2 P f f'$ par $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.3

Multipliez $f^{2}$ par $f^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.6.1.4.3.1

Déplacez $f^{2}$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.4

Multipliez $f^{2}$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.6.1.4.4.1

Déplacez $f$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.4.2

Multipliez $f$ par $f^{2}$ .

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Étape 2.17.6.1.4.4.2.1

Élevez $f$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.6

Simplifiez

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Étape 2.17.6.1.6.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.6.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.8

Multipliez $- f'$ par $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.9

Multipliez $- f^{2} P (- f')$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.6.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.9.2

Multipliez $f^{2}$ par $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.10

Multipliez $f^{2}$ par $f$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.6.1.10.1

Déplacez $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.10.2

Multipliez $f$ par $f^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.17.6.1.10.2.1

Élevez $f$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.11

Multipliez $- f^{3} P (- f')$ .

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Étape 2.17.6.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.11.2

Multipliez $f^{3}$ par $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.12

Multipliez $f'$ par $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.13

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.14

Multipliez $f^{2}$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.17.6.1.14.1

Déplacez $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.14.2

Multipliez $f$ par $f^{2}$ .

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Étape 2.17.6.1.14.2.1

Élevez $f$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.14.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.15

Réécrivez $- 1 f'$ comme $- f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.16

Multipliez $- f^{3} P (- f')$ .

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Étape 2.17.6.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.1.16.2

Multipliez $f^{3}$ par $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.2

Associez les termes opposés dans $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

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Étape 2.17.6.2.1

Soustrayez $4 f^{2} P f'$ de $4 f^{2} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.2.2

Additionnez $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ et $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.3

Additionnez $- 8 f^{3} P f'$ et $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.4

Associez les termes opposés dans $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

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Étape 2.17.6.4.1

Additionnez $- 4 f^{3} P f'$ et $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.6.4.2

Additionnez $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ et $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.8

Factorisez $4 f$ à partir de $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ .

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Étape 2.17.8.1

Factorisez $4 f$ à partir de $- 4 f^{4}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.8.2

Factorisez $4 f$ à partir de $4 f^{2}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.8.3

Factorisez $4 f$ à partir de $8 P f f'$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.8.4

Factorisez $4 f$ à partir de $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.8.5

Factorisez $4 f$ à partir de $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- f^{3}$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.10

Factorisez $- 1$ à partir de $f$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (f^{3}) - 1 (- f)$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.12

Factorisez $- 1$ à partir de $2 P f'$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.14

Réécrivez $- (f^{3} - f - 2 P f')$ comme $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 2.17.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ .

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Étape 3

Comme $K$ est constant par rapport à $P$ , la dérivée de $K$ par rapport à $P$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $f'$ .

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Étape 5.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation pour $f'$ .

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ par $4 f$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ par $4 f$ .

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Étape 5.2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Étape 5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $f$ .

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Étape 5.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Étape 5.2.1.2.2.2

Divisez $f^{3} - f - 2 P f'$ par $1$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 5.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

Étape 5.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

Étape 5.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

Étape 5.2.1.3.2

Divisez $0$ par $f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

Étape 5.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $f'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $f^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

Étape 5.2.2.2

Ajoutez $f$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

Étape 5.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 P f' = - f^{3} + f$ par $- 2 P$ et simplifiez.

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Étape 5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 P f' = - f^{3} + f$ par $- 2 P$ .

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Étape 5.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $P$ .

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Étape 5.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Divisez $f'$ par $1$ .

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Étape 5.2.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

Étape 6

Remplacez $f'$ par $\frac{d f}{d P}$ .

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$