Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sqrt[3]{15000 - p^{3}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{15000 - p^{3}}$ comme ${(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 15000 - p^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $15000 - p^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $15000 - p^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.6

Différenciez.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.6.2.2

Placez ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Étape 4.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15000 - p^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Étape 4.6.4

Comme $15000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Étape 4.6.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- p^{3}]$

Étape 4.6.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- p^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [p^{3}])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = p$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [p]))$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Étape 4.8

Simplifiez les termes.

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Étape 4.8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 (p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Étape 4.8.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (p^{2} \frac{d}{d x} [p])$

Étape 4.8.3

Associez $p^{2}$ et $\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{p^{2} \cdot - 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.8.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $p^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot p^{2}}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.8.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 p^{2}$ .

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- p^{2})}{3 ({(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Étape 4.11

Réécrivez $\frac{d}{d x} [p]$ comme $p'$ .

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} p'$

Étape 4.12

Associez $p'$ et $\frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{p' p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $p' p^{2}$ .

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Résolvez $p'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés par ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 6.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun de ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 6.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ par $p^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ par $p^{2}$ .

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $p^{2}$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $p'$ par $1$ .

$p' = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$p' = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Étape 7

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$