Calcul infinitésimal Exemples

$p = \frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (p) = \frac{d}{d t} (\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}})$

Étape 2

La dérivée de $p$ par rapport à $t$ est $p'$ .

$p'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $500$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ par rapport à $t$ est $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ comme ${(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (- {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $500$ .

$- 500 ({(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.3.3

Comme $12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $12$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$

Étape 3.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 e^{- 0.5 t}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}])$

Étape 3.3.6

Multipliez $5$ par $- 500$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 0.5 t$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.5 t$ par rapport à $t$ est $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (- 0.5 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 0.5$ par $- 2500$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \cdot 1)$

Étape 3.5.4

Multipliez $e^{- 0.5 t}$ par $1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réorganisez les facteurs de $1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Étape 3.6.3

Multipliez $1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ .

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Étape 3.6.3.1

Associez $\frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ et $1250$ .

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}} e^{- 0.5 t}$

Étape 3.6.3.2

Associez $\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ et $e^{- 0.5 t}$ .

$\frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{d p}{d t} = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$