Calcul infinitésimal Exemples

$p = 4 q e^{q^{9}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

Étape 2

La dérivée de $p$ par rapport à $q$ est $p'$ .

$p'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $4 q e^{q^{9}}$ par rapport à $q$ est $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ .

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ est $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ où $f (q) = q$ et $g (q) = e^{q^{9}}$ .

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ est $f' (g (q)) g' (q)$ où $f (q) = e^{q}$ et $g (q) = q^{9}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $q^{9}$ .

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $q^{9}$ .

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.5

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.7.2

Déplacez $9$ à gauche de $e^{q^{9}}$ .

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $e^{q^{9}}$ par $1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Étape 3.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

Étape 3.10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Étape 5

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$