Calcul infinitésimal Exemples

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

Étape 2

La dérivée de $f$ par rapport à $y$ est $f'$ .

$f'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \sin (y + z) - z$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x} \sin (y + z)$ par rapport à $y$ est $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \sin (y)$ et $g (y) = y + z$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y + z$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + z$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + z$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.5

Comme $z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $z$ par rapport à $y$ est $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.2.7

Multipliez $\cos (y + z)$ par $1$ .

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- z$ par rapport à $y$ est $0$ .

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $e^{x} \cos (y + z)$ et $0$ .

$e^{x} \cos (y + z)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

Étape 5

Remplacez $f'$ par $\frac{d f}{d y}$ .

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$