Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x^{10}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{10}}$ comme ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{10})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 10}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 10$ .

$- 10 x^{- 11}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{11}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{x^{11}}$ .

$\frac{- 10}{x^{11}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{11}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{10}{x^{11}}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{11}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{11}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{11}}$ comme ${(x^{11})}^{- 1}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{11})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{11})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{11 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 11}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 11$ .

$- 10 (- 11 x^{- 12})$

Étape 2.4

Multipliez $- 11$ par $- 10$ .

$110 x^{- 12}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$110 \frac{1}{x^{12}}$

Étape 2.5.2

Associez $110$ et $\frac{1}{x^{12}}$ .

$f'' (x) = \frac{110}{x^{12}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $110$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{110}{x^{12}}$ par rapport à $x$ est $110 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{12}}]$ .

$110 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{12}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{12}}$ comme ${(x^{12})}^{- 1}$ .

$110 \frac{d}{d x} [{(x^{12})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{12})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$110 \frac{d}{d x} [x^{12 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$110 \frac{d}{d x} [x^{- 12}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 12$ .

$110 (- 12 x^{- 13})$

Étape 3.4

Multipliez $- 12$ par $110$ .

$- 1320 x^{- 13}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1320 \frac{1}{x^{13}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 1320$ et $\frac{1}{x^{13}}$ .

$\frac{- 1320}{x^{13}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{1320}{x^{13}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 1320$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1320}{x^{13}}$ par rapport à $x$ est $- 1320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{13}}]$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{13}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{13}}$ comme ${(x^{13})}^{- 1}$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [{(x^{13})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{13})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [x^{13 \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [x^{- 13}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 13$ .

$- 1320 (- 13 x^{- 14})$

Étape 4.4

Multipliez $- 13$ par $- 1320$ .

$17160 x^{- 14}$

Étape 4.5

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$17160 \frac{1}{x^{14}}$

Étape 4.5.2

Associez $17160$ et $\frac{1}{x^{14}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{17160}{x^{14}}$