Calcul infinitésimal Exemples

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = b^{2}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = b$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [b]$ comme $b'$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $b^{2}$ .

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $a^{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ et $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{2} b^{2}$ par rapport à $x$ est $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = b$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $b$ .

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $b$ .

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [b]$ comme $b'$ .

$2 a^{2} b b'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

Étape 5

Résolvez $b'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 a^{2} b b'$ des deux côtés de l’équation.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2 b^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Étape 5.3

Factorisez $2 b b'$ à partir de $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 b b'$ à partir de $2 x^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 b b'$ à partir de $- 2 a^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 b b'$ à partir de $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ .

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Étape 5.4

Factorisez.

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Étape 5.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = a$ .

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

Étape 5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ par $2 b (x + a) (x - a)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ par $2 b (x + a) (x - a)$ .

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $x + a$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.4

Annulez le facteur commun de $x - a$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.2.4.2

Divisez $b'$ par $1$ .

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 b^{2} x$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 b (x + a) (x - a)$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Étape 5.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

Étape 5.5.3.2

Annulez le facteur commun à $b^{2}$ et $b$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $b$ à partir de $- b^{2} x$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

Étape 5.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.2.2.1

Factorisez $b$ à partir de $(b (x + a)) (x - a)$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Étape 5.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Étape 5.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

Étape 5.5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

Étape 6

Remplacez $b'$ par $\frac{d b}{d x}$ .

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$