Calcul infinitésimal Exemples

$7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$ .

$7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{- 0.2 t}$ et $g (t) = 1 - 0.2 t$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [1 - 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 0.2 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (0 + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3.4

Comme $- 0.2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.2 t$ par rapport à $t$ est $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 0.2$ par $1$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2 + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 3.6.2

Déplacez $- 0.2$ à gauche de $e^{- 0.2 t}$ .

$7 (- 0.2 \cdot e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 0.2 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.2 t$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.2 t$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 0.2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.2 t$ par rapport à $t$ est $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1))$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 0.2$ par $1$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2)$

Étape 5.3.2

Déplacez $- 0.2$ à gauche de $(1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot ((1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (- 0.2 \cdot 1 - 0.2 (- 0.2 t)) e^{- 0.2 t})$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t} - 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 0.2$ par $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 0.2$ par $1$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Étape 6.4.3

Multipliez $- 0.2$ par $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Étape 6.4.4

Multipliez $- 0.2$ par $- 0.2$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (0.04 t e^{- 0.2 t})$

Étape 6.4.5

Multipliez $0.04$ par $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 0.28 (t e^{- 0.2 t})$

Étape 6.4.6

Soustrayez $1.4 e^{- 0.2 t}$ de $- 1.4 e^{- 0.2 t}$ .

$- 2.8 e^{- 0.2 t} + 0.28 t e^{- 0.2 t}$

Étape 6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$

Étape 6.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$ .

$0.28 t e^{- 0.2 t} - 2.8 e^{- 0.2 t}$