Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = 20 - \frac{7}{t + 2}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 - \frac{7}{t + 2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$ .

$\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$

Étape 1.2

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{7}{t + 2}$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{t + 2}$ comme ${(t + 2)}^{- 1}$ .

$0 - 7 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t + 2$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 2$ .

$0 - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 2$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2])$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]))$

Étape 2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0))$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2})$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$0 + 7 {(t + 2)}^{- 2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 7 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Associez $7$ et $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$0 + \frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$