Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{t^{2} + 3}{{(5 t - 2)}^{9}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 3$ et $g (t) = {(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{({(5 t - 2)}^{9})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 t - 2)}^{9})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{9 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 2.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{9}$ et $g (t) = 5 t - 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 {(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 4.2

Factorisez ${(5 t - 2)}^{8}$ à partir de $2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez ${(5 t - 2)}^{8}$ à partir de $2 {(5 t - 2)}^{9} t$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 4.2.2

Factorisez ${(5 t - 2)}^{8}$ à partir de $- 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 4.2.3

Factorisez ${(5 t - 2)}^{8}$ à partir de ${(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez ${(5 t - 2)}^{8}$ à partir de ${(5 t - 2)}^{18}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + 0)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) \cdot 5}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 11.2

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (5 t) + 2 \cdot - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.4.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (5 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.4.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 (5 t^{2}) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.4.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.4.1.4

Multipliez $- 45$ par $3$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.4.2

Soustrayez $45 t^{2}$ de $10 t^{2}$ .

$\frac{- 35 t^{2} - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 35 t^{2}$ .

$\frac{- (35 t^{2}) - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 t$ .

$\frac{- (35 t^{2}) - (4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (35 t^{2}) - (4 t)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.8

Réécrivez $- 135$ comme $- 1 (135)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)$ .

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.10

Réécrivez $- (35 t^{2} + 4 t + 135)$ comme $- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)$ .

$\frac{- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Étape 12.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 t^{2} + 4 t + 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$