Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{9}$ et $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $\frac{b}{a + z^{2}}$ par rapport à $a$ est $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{a + z^{2}}$ comme ${(a + z^{2})}^{- 1}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{- 1}$ et $g (a) = a + z^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + z^{2}$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Étape 4.3

Comme $z^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $z^{2}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

Étape 5.2

Associez $b$ et $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $9$ et $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ .

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ par $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Étape 6.2.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Étape 6.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Étape 6.2.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Étape 6.2.6

Multipliez ${(a + z^{2})}^{8}$ par ${(a + z^{2})}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

Étape 6.2.6.2

Additionnez $8$ et $2$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$