Calcul infinitésimal Exemples

$k (x) = - 2 {(12 x^{2} + 5)}^{- 6}$

Étape 1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 {(12 x^{2} + 5)}^{- 6}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [{(12 x^{2} + 5)}^{- 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(12 x^{2} + 5)}^{- 6}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 6}$ et $g (x) = 12 x^{2} + 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $12 x^{2} + 5$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 6$ .

$- 2 (- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 x^{2} + 5$ .

$- 2 (- 6 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$12 ({(12 x^{2} + 5)}^{- 7} \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $12$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (24 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (24 x + 0)$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $24 x$ et $0$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (24 x)$

Étape 3.7.2

Multipliez $24$ par $12$ .

$288 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$288 \frac{1}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}} x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $288$ et $\frac{1}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}}$ .

$\frac{288}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}} x$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{288}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}}$ et $x$ .

$\frac{288 x}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}}$