Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d ?} [f (g (?))]$ est $f' (g (?)) g' (?)$ où $f (?) = ?^{2}$ et $g (?) = - 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d ?} [- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d ?} [- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \frac{d}{d ?} [- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ par rapport à $?$ est $\frac{d}{d ?} [- 1] + \frac{d}{d ?} [- \frac{\csc (x)}{2}] + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}]$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (\frac{d}{d ?} [- 1] + \frac{d}{d ?} [- \frac{\csc (x)}{2}] + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}])$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $?$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $?$ est $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + \frac{d}{d ?} [- \frac{\csc (x)}{2}] + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}])$

Étape 2.3

Comme $- \frac{\csc (x)}{2}$ est constant par rapport à $?$ , la dérivée de $- \frac{\csc (x)}{2}$ par rapport à $?$ est $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + 0 + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}])$

Étape 2.4

Comme $- \frac{x^{2}}{4}$ est constant par rapport à $?$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{4}$ par rapport à $?$ est $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + 0 + 0)$

Étape 3

Associez des termes.

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Étape 3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + 0)$

Étape 3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) + 2 (- \frac{x^{2}}{4})) \cdot 0$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot - 1 \cdot 0 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - 2 \frac{\csc (x)}{2} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{\csc (x)}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 \csc (x)}{2} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \csc (x)$ .

$0 + \frac{2 (- \csc (x))}{2} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 (- \csc (x))}{2 (1)} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (- \csc (x))}{2 \cdot 1} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- \csc (x)}{1} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.5.2.4

Divisez $- \csc (x)$ par $1$ .

$0 - \csc (x) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.6

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 \csc (x) + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.7

Multipliez $0$ par $\csc (x)$ .

$0 + 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Étape 4.3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{4} \cdot 0$

Étape 4.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{4} \cdot 0$

Étape 4.3.11

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 4.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2})}{4} \cdot 0$

Étape 4.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2})}{2 (2)} \cdot 0$

Étape 4.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Étape 4.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- x^{2}}{2} \cdot 0$

Étape 4.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{x^{2}}{2} \cdot 0$

Étape 4.3.13

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 \frac{x^{2}}{2}$

Étape 4.3.14

Multipliez $0$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 0$

Étape 4.3.15

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$