Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$ comme ${(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [{(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{\frac{1}{2}}$ et $g (s) = \frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ est $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ où $f (s) = s^{2} + 1$ et $g (s) = s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) \frac{d}{d s} [s^{2} + 1] - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s^{2} + 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.3

Comme $1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + 0) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.1

Additionnez $2 s$ et $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s^{2} + 4$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.7

Comme $4$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $4$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + 0)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.8

Associez les fractions.

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Étape 9.8.1

Additionnez $2 s$ et $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 9.8.3

Multipliez $\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.8.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 \cdot {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 s^{2} + 2 \cdot 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s + (- 2 s^{2} - 2 \cdot 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7

Associez des termes.

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Étape 10.7.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (s^{1} s^{2}) + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 s^{1 + 2} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.5

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 (s^{1} s^{2}) - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{1 + 2} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.9

Soustrayez $2 s^{3}$ de $2 s^{3}$ .

$\frac{8 s + 0 - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.10

Additionnez $8 s$ et $0$ .

$\frac{8 s - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.11

Soustrayez $2 s$ de $8 s$ .

$\frac{6 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.12

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 10.7.12.1

Factorisez $2$ à partir de $6 s$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.7.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 ({(s^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.13

Multipliez $\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ par $\frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 s {(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.14

Placez ${(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15

Multipliez ${(s^{2} + 4)}^{2}$ par ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.7.15.1

Déplacez ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.7.15.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.7.15.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$