Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 + 3 i}{3 + 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 + 3 i}{3 + 2 i}$ par le conjugué de $3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 + 3 i}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 + 3 i) (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(1 + 3 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (3 - 2 i) + 3 i (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 2 i) + 3 i (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 2 i) + 3 i \cdot 3 + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 1 (- 2 i) + 3 i \cdot 3 + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 2 i$ par $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 3 i \cdot 3 + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $3 i (- 2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 i i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 (i^{1} i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 (i^{1} i^{1})}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 i^{1 + 1}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 i^{2}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 \cdot - 1}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i + 6}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$\frac{9 - 2 i + 9 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 2 i$ et $9 i$ .

$\frac{9 + 7 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 + 7 i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 + 7 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 + 7 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $4$ .

$\frac{9 + 7 i}{13}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{9 + 7 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{9}{13} + \frac{7 i}{13}$