Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ et $g (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

${(2 x + 1)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$4 \cdot {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x + 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 5.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Étape 5.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Factorisez $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ à partir de $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ à partir de $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ à partir de $6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$

Étape 6.1.3

Factorisez $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ à partir de $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$

Étape 6.2

Réorganisez les facteurs de $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$ .

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$