Calcul infinitésimal Exemples

$s (t) = 2 \sqrt{t + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 1}$ comme ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 7.3

Placez ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 7.4

Associez $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$