Calcul infinitésimal Exemples

$N (t) = - \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 20000$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $t$ est $- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 20000 \frac{d}{d t} [{({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 20000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 1 + 0.2 t$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 0.2 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.7

Comme $0.2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.2 t$ par rapport à $t$ est $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.9

Multipliez les exposants dans ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.15

Multipliez $0.2$ par $1$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2))) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.16

Additionnez $0$ et $0.2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.18

Associez $\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $0.2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.19

Déplacez $0.2$ à gauche de ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2 \cdot {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.20

Placez ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.21

Associez $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ .

$- 20000 (- \frac{0.2 {(1 + 0.2 t)}^{- 1}}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.22

Placez ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0.2 t)}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.23

Multipliez ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + 0.2 t$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.1

Déplacez $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ((1 + 0.2 t) {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.23.2

Multipliez $1 + 0.2 t$ par ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.23.2.1

Élevez $1 + 0.2 t$ à la puissance $1$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{1} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{1 + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.23.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.23.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2 + 1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.23.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.24

Multipliez $- 1$ par $- 20000$ .

$20000 \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.25

Associez $20000$ et $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{20000 \cdot 0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.26

Multipliez $20000$ par $0.2$ .

$\frac{4000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.27

Factorisez $2$ à partir de $4000$ .

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.28

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.28.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2000}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.28.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 2.28.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Étape 3

Comme $c$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $c$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Additionnez $\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2000}{{(0.2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$