Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = v^{6}$ et $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ est $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ où $f (v) = v$ et $g (v) = v^{3} + 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $v^{3} + 1$ par $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v^{3} + 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3 v^{2}$ et $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez $v$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $v^{2}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $v^{2}$ par $v$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Soustrayez $3 v^{3}$ de $v^{3}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $6$ et $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ par $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.3

Multipliez ${(v^{3} + 1)}^{5}$ par ${(v^{3} + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$