Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 4$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 4$

Étape 5.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \cdot 4$

Étape 5.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \cdot 4$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4$

Étape 5.7

Associez $\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $4$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2}$

Étape 5.8

Déplacez $4$ à gauche de ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.9

Placez ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.10

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$