Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\sin (x + 1)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sin (x + 1)}$ comme ${\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \sin (x + 1)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 7.3

Placez ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 8.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Associez $\cos (x + 1)$ et $\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Étape 9.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 9.5.2

Multipliez $\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Séparez les fractions.

$\frac{\cos (x + 1)}{2} \cdot \frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Convertissez de $\frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ à ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2} {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 10.3

Associez $\frac{\cos (x + 1)}{2}$ et ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cos (x + 1)}{2}$