Calcul infinitésimal Exemples

${(- 3 + 2 x^{4})}^{- 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = - 3 + 2 x^{4}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 + 2 x^{4}$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 + 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 2 (4 x^{3}))$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 8 x^{3})$

Étape 4

Additionnez $0$ et $8 x^{3}$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (8 x^{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

Étape 5.2.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 \frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

Étape 5.2.4

Associez $- 8$ et $\frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ .

$\frac{- 8 \cdot 2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{- 16}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

Étape 5.2.6

Associez $\frac{- 16}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3}}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$

Étape 5.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 x^{3}}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$