Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos^{2} (2 π t + 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \cos (2 π t + 3)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 π t + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 π t + 3)$ .

$2 \cos (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 2 π t + 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 π t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Étape 3.2

Comme $2 π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 π t$ par rapport à $t$ est $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]))$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + \frac{d}{d t} [3]))$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + 0))$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π))$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 \sin (2 π t + 3) π)$

Étape 3.6.3

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (2 π t + 3) π$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 π \sin (2 π t + 3))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$ .

$- 4 π \cos (2 π t + 3) \sin (2 π t + 3)$