Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

Étape 1

Retirez $z^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(z^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

Étape 3

Développez $(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Étape 3.5

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

Étape 3.7

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{- 2}$ par rapport à $z$ est $- z^{- 1}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $z$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{- 3}$ par rapport à $z$ est $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 9

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Étape 9.1

Associez $z^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 9.2

Placez $z^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Étape 10

Comme $- 9$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 9$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{- 4}$ par rapport à $z$ est $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

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Étape 12.1.1

Associez $z^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

Étape 12.1.2

Placez $z^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

Étape 12.2

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$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

Étape 12.3

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

Étape 12.3.2

Associez $9$ et $\frac{1}{3 z^{3}}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 12.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Étape 12.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 z^{3}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

Étape 12.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Étape 12.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$