Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{2 x}{x^{2} - 8} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (2 \int \frac{x}{x^{2} - 8} d x)$

Étape 3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int \frac{x}{x^{2} - 8} d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{2} - 8$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x^{2} - 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 4.1.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8$ .

$- \ln (| x^{2} - 8 |) + C$