Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 d t}{\sqrt{t}}$

Étape 1

Comme $\frac{2 t}{\sqrt{t}}$ est constant par rapport à $d$ , placez $\frac{2 t}{\sqrt{t}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2 t}{\sqrt{t}} \int d d \cdot d$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $d$ par rapport à $d$ est $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{2 t}{\sqrt{t}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{2 t}{\sqrt{t}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ comme $\frac{2 t \sqrt{t}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ .

$\frac{2 t \sqrt{t}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2

Multipliez $t$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t)}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2} + 1}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.3

Placez $t^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 t^{\frac{3}{2}} t^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4

Multipliez $t^{\frac{3}{2}}$ par $t^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.1

Déplacez $t^{- 1}$ .

$2 (t^{- 1} t^{\frac{3}{2}}) (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 t^{- 1 + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 t^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 t^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 t^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 t^{\frac{- 2 + 3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $d^{2}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Étape 3.2.6

Associez $2$ et $\frac{d^{2}}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{2 d^{2}}{2} + C$

Étape 3.2.7

Associez $t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 d^{2}}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 d^{2})}{2} + C$

Étape 3.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

Étape 3.2.9

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

Étape 3.2.10

Divisez $t^{\frac{1}{2}} d^{2}$ par $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$