Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 + 6 x}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 6 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Développez $(4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Étape 4.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4.7

Remettez dans l’ordre $4 x^{- \frac{1}{2}}$ et $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $6$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$