Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{225 + 10 x}{1 + 0.05 x}$

Étape 1

Laissez $u = 1 + 0.05 x$ . Alors $d u = 0.05 d x$ , donc $\frac{1}{0.05} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + 0.05 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$\frac{0.05}{1}$

Étape 1.1.2

Divisez $0.05$ par $1$ .

$0.05$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{4500 + 200 (20 u - 20)}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{4500}{u} + \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{4500}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Étape 4

Comme $4500$ est constant par rapport à $u$ , placez $4500$ en dehors de l’intégrale.

$4500 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Étape 6

Comme $200$ est constant par rapport à $u$ , placez $200$ en dehors de l’intégrale.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int \frac{20 u - 20}{u} d u$

Étape 7

Divisez $20 u - 20$ par $u$ .

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Étape 7.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$0$

$20 u$

$20$

Étape 7.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

					$20$
	$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$

Étape 7.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			+	$20 u$	+	$0$

Étape 7.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 u + 0$

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$

Étape 7.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$
					-	$20$

Étape 7.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int 20 - \frac{20}{u} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (\int 20 d u + \int - \frac{20}{u} d u)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C + \int - \frac{20}{u} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - \int \frac{20}{u} d u)$

Étape 11

Comme $20$ est constant par rapport à $u$ , placez $20$ en dehors de l’intégrale.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - (20 \int \frac{1}{u} d u))$

Étape 12

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 (\ln (| u |) + C))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

$4500 \ln (| u |) + 4000 u - 4000 \ln (| u |) + C$

Étape 14.2

Soustrayez $4000 \ln (| u |)$ de $4500 \ln (| u |)$ .

$4000 u + 500 \ln (| u |) + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 0.05 x$ .

$4000 (1 + 0.05 x) + 500 \ln (| 1 + 0.05 x |) + C$