Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Étape 1

Divisez $2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ par $x^{2} - 6 x + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

Étape 1.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Étape 1.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $53 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Étape 1.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Étape 1.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $53 x^{2} - 318 x + 424$

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Étape 1.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

Étape 1.16

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 5

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Étape 9

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 9.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 9.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $222 x - 422$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $222 x$ .

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

Étape 9.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 422$ .

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Étape 9.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (111 x) + 2 (- 211)$ .

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 9.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

Étape 9.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Étape 9.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Étape 9.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 9.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 9.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.6.2

Divisez $2 (111 x - 211)$ par $1$ .

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.8

Multipliez.

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Étape 9.1.8.1

Multipliez $111$ par $2$ .

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.8.2

Multipliez $2$ par $- 211$ .

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.9.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 9.1.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.9.1.2

Divisez $(A) (x - 2)$ par $1$ .

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.9.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $A$ .

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.9.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 9.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Étape 9.1.9.4.2

Divisez $(B) (x - 4)$ par $1$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

Étape 9.1.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

Étape 9.1.9.6

Déplacez $- 4$ à gauche de $B$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

Étape 9.1.10

Déplacez $- 2 A$ .

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

Étape 9.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 9.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$222 = A + B$

Étape 9.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Étape 9.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Étape 9.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 9.3.1

Résolvez $A$ dans $222 = A + B$ .

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Étape 9.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 222$ .

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Étape 9.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Étape 9.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $222 - B$ dans chaque équation.

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Étape 9.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 422 = - 2 A - 4 B$ par $222 - B$ .

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.2.2.1

Simplifiez $- 2 (222 - B) - 4 B$ .

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Étape 9.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $222$ .

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.2.2.1.2

Soustrayez $4 B$ de $2 B$ .

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3

Résolvez $B$ dans $- 422 = - 444 - 2 B$ .

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Étape 9.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 444 - 2 B = - 422$ .

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.3.2.1

Ajoutez $444$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3.2.2

Additionnez $- 422$ et $444$ .

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 2 B = 22$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 9.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 B = 22$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.3.3.1

Divisez $22$ par $- 2$ .

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

Étape 9.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 11$ dans chaque équation.

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Étape 9.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 222 - B$ par $- 11$ .

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

Étape 9.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.4.2.1

Simplifiez $222 - (- 11)$ .

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Étape 9.3.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

Étape 9.3.4.2.1.2

Additionnez $222$ et $11$ .

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

Étape 9.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = 233, B = - 11$

Étape 9.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Étape 11

Comme $233$ est constant par rapport à $x$ , placez $233$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Étape 12

Laissez $u_{1} = x - 4$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{1} = x - 4$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 12.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 12.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

Étape 15

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , placez $11$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Étape 16

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 17

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 17.1

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 17.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 17.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 17.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 17.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 17.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 18

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 19

Simplifiez

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 20

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 20.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 20.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

Étape 21

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$