Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2 - x}$ , $x = 1$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \sqrt{2 - (1)}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{2 - (1)}$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \sqrt{2 - 1}$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y = \sqrt{1}$

Étape 1.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 - x}$ comme ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.7.3

Placez ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Étape 2.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 - (1))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.1.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.15.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 1$

Étape 3.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 2}{2}$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{3}{2}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Étape 4