Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x}{x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - x}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - x}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Étape 1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x^{2}} d x$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x} d x$

Étape 2

Divisez $x^{2} - 2 x - 1$ par $x$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Étape 2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

Étape 2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

Étape 2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Étape 2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x + 0$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Étape 2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							-	$1$

Étape 2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x - 2 - \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (\ln (| x |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - \ln (| x |) + C$