Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Étape 1

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Étape 1.1

Associez $d$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Étape 1.2

Associez $\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 2

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + 2$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 6.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $\frac{d}{2}$ par $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 8.2.6

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$