Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{3} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{3} - 1) x^{- 2} d x$

Étape 2

Multipliez $(x^{3} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{3} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int x^{1} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$\int x - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Réécrivez $- 1 x^{- 2}$ comme $- x^{- 2}$ .

$\int x - x^{- 2} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - x^{- 2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 2} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} - - x^{- 1} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 x^{- 1} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $x^{- 1}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x^{- 1} + C$