Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $(A) (1 - x)$ par $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 1.1.7.5.2

Divisez $(B) (1 + x)$ par $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Étape 1.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Étape 1.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Étape 1.1.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.1

Déplacez $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 1.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 1.1.8.3

Déplacez $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Étape 1.1.8.4

Déplacez $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 1.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (1 - B) + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- B)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + 2 B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 7

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 7.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |) + C$