Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{2} - 4}$

Étape 1

Laissez $x = 2 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sec (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \tan^{2} (t)$ comme ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 2 \tan (t) (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 4 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Étape 4

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

$4 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 9

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 10

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Étape 11

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Étape 12

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Étape 13

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 15.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Étape 16

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Étape 17

Simplifiez en multipliant.

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Étape 17.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 17.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 18

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Étape 19

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 21

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 22

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Étape 23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Étape 24

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Étape 25

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 26

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 27

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 28

Simplifiez en multipliant.

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Étape 28.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 28.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 29

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Étape 30

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$4 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Étape 31

Simplifiez

$4 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Étape 32

Simplifiez

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Étape 32.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Étape 32.2

Additionnez $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ et $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Étape 32.3

Associez $4$ et $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Étape 32.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 32.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ .

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

Étape 32.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 32.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

Étape 32.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

Étape 32.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

Étape 32.4.2.4

Divisez $2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ par $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 33

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (arcsec (\frac{x}{2})) \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34

Simplifiez

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Étape 34.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 34.1.1

Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.

$2 (\frac{x}{2} \tan (arcsec (\frac{x}{2})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.11

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.13

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 34.1.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.13.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{x}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.16

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Étape 34.1.16.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2 \cdot 2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{x}{4} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.17

Associez $\frac{x}{4}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 34.1.18.1

Les fonctions sécante et arc sécante sont inverses.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \tan (arcsec (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 34.1.18.2

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} |)) + C$

Étape 34.1.18.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} |)) + C$

Étape 34.1.18.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Étape 34.1.18.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Étape 34.1.18.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} |)) + C$

Étape 34.1.18.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} |)) + C$

Étape 34.1.18.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} |)) + C$

Étape 34.1.18.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} |)) + C$

Étape 34.1.18.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} |)) + C$

Étape 34.1.18.11

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} |)) + C$

Étape 34.1.18.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} |)) + C$

Étape 34.1.18.13

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 34.1.18.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} |)) + C$

Étape 34.1.18.13.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} |)) + C$

Étape 34.1.18.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} |)) + C$

Étape 34.1.18.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$

Étape 34.1.18.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

Étape 34.1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (| \frac{x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} |)) + C$

Étape 34.1.20

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})) + C$

Étape 34.2

Pour écrire $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Étape 34.3

Associez $- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4} + \frac{- \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Étape 34.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 34.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{4} + C$

Étape 34.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 34.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 (2)} + C$

Étape 34.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Étape 34.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{| x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |}{2})}{2} + C$

Étape 35

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (x \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \ln (\frac{1}{2} | x + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} |)) + C$