Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{x}}$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{2} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{x^{2 + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}} d x$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{4 + 1}{2}}} d x$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Retirez $x^{\frac{5}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d x$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Étape 1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{5}{2}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C$ comme $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + C$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3} + C$

Étape 3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$