Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d z}{\sqrt[4]{z}}$

Étape 1

Comme $\frac{z}{\sqrt[4]{z}}$ est constant par rapport à $d$ , placez $\frac{z}{\sqrt[4]{z}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{z}{\sqrt[4]{z}} \int d d \cdot d$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $d$ par rapport à $d$ est $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{z}{\sqrt[4]{z}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{z}{\sqrt[4]{z}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ comme $\frac{z {\sqrt[4]{z}}^{3}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ .

$\frac{z {\sqrt[4]{z}}^{3}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{z}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{z^{3}}$ .

$\frac{z \sqrt[4]{z^{3}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{z^{3}}$ comme $z^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{z \cdot z^{\frac{3}{4}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.3

Multipliez $z$ par $z^{\frac{3}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $z$ par $z^{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{z^{1} z^{\frac{3}{4}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{z^{1 + \frac{3}{4}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{z^{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{z^{\frac{4 + 3}{4}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{z^{\frac{7}{4}}}{z} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.4

Placez $z^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$z^{\frac{7}{4}} z^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5

Multipliez $z^{\frac{7}{4}}$ par $z^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{\frac{7}{4} - 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$z^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$z^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.5.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$z^{\frac{7 - 4}{4}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.5.5.2

Soustrayez $4$ de $7$ .

$z^{\frac{3}{4}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $d^{2}$ .

$z^{\frac{3}{4}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Étape 3.2.7

Associez $z^{\frac{3}{4}}$ et $\frac{d^{2}}{2}$ .

$\frac{z^{\frac{3}{4}} d^{2}}{2} + C$

$\frac{1}{2} z^{\frac{3}{4}} d^{2} + C$