Calcul infinitésimal Exemples

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Alors $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , donc $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 + 5 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.1.3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Étape 2.1.3.6

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.4

Soustrayez $15 e^{- 3 x}$ de $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Étape 3

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Étape 3.2

Associez ${u_{2}}^{2}$ et $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{15}$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{15}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $15$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ comme $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$