Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x^{4} + 3$ . Alors $d u = 12 x^{3} d x$ , donc $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x^{4} + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$12 x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Étape 3

Associez $u^{9}$ et $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{9}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$