Calcul infinitésimal Exemples

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

Étape 2

Laissez $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ est positif.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 \tan^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.2.2

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.4

Remettez dans l’ordre $6$ et $\sec^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Étape 3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Étape 3.2.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

Étape 3.2.5

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

Étape 3.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

Étape 3.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

Étape 3.2.8

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Étape 3.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Étape 3.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Étape 3.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Étape 3.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

Étape 3.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

Étape 3.2.9

Déplacez $6$ à gauche de $\sec^{3} (t)$ .

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $6$ par $5$ .

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

Étape 5.2

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Étape 7

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Étape 8

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 10.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Étape 11

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Étape 12

Simplifiez en multipliant.

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Étape 12.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 12.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 13

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Étape 14

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 16

Additionnez $1$ et $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 17

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Étape 18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Étape 19

Additionnez $2$ et $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Étape 20

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 22

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 23

Simplifiez en multipliant.

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Étape 23.1

Appliquez la propriété distributive.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 23.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 24

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Étape 25

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Étape 26

Simplifiez

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Associez $30$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27.2

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

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Étape 27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 27.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27.2.2.4

Divisez $15$ par $1$ .

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 28

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ .

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

Étape 29

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$