Calcul infinitésimal Exemples

$12 x^{3} \sqrt{x}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 12 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Étape 1.2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 1.2.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 12 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int 12 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int 12 x^{\frac{7}{2}} d x$

Étape 2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$12 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $12 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$ comme $12 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$ .

$12 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $12$ et $\frac{2}{9}$ .

$\frac{12 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{24}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $24$ et $9$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$\frac{3 (8)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$