Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - z}{y + z}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $x - z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x - z}{y + z}$ par rapport à $y$ est $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{y + z}$ comme ${(y + z)}^{- 1}$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y + z$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y + z$ .

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + z$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + z$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

Étape 3.3

Comme $z$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $z$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ .

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $- - z$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- x + z$ par $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ .

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $z$ .

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- z)$ .

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $- (x - z)$ comme $- 1 (x - z)$ .

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$