Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{6}$ et $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{y^{9}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{y^{9}}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{y^{9}}$ comme ${(y^{9})}^{- 1}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{9})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 9$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

Étape 2.4

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{y^{9}}$ .

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.3.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{9})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $9$ par $5$ .

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.3.3

Associez $- 54$ et $\frac{1}{y^{45}}$ .

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{1}{y^{10}}$ par $\frac{54}{y^{45}}$ .

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $y^{10}$ par $y^{45}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

Étape 3.3.6.2

Additionnez $10$ et $45$ .

$- \frac{54}{y^{55}}$