Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Associez $2$ et $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Étape 2.2.2

Divisez $e^{y} - e^{- y}$ par $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{y} - e^{- y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{- y}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - y$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 6.2

Multipliez.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 6.2.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

Étape 6.4

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Associez $e^{y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- y}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ .

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.4

Développez $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1.1

Multipliez $e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ .

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Étape 7.5.1.1.1

Associez $e^{y}$ et $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.1.2

Multipliez $e^{y}$ par $e^{y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.1.2.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.3

Multipliez $- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

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Étape 7.5.1.3.1

Associez $\frac{e^{- y}}{2}$ et $e^{y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.3.2

Multipliez $e^{- y}$ par $e^{y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.3.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.3.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ .

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Étape 7.5.1.4.1

Associez $e^{- y}$ et $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.4.2

Multipliez $e^{- y}$ par $e^{y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.4.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.4.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.4.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Étape 7.5.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

Étape 7.5.1.6

Multipliez $- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

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Étape 7.5.1.6.1

Associez $\frac{e^{- y}}{2}$ et $e^{- y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

Étape 7.5.1.6.2

Multipliez $e^{- y}$ par $e^{- y}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.6.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

Étape 7.5.1.6.2.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Étape 7.5.2

Additionnez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Étape 7.5.3

Additionnez $\frac{e^{2 y}}{2}$ et $0$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$