Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(y - 2)}^{5}}{{(y^{2} + 4 y)}^{8}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = {(y - 2)}^{5}$ et $g (y) = {(y^{2} + 4 y)}^{8}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{({(y^{2} + 4 y)}^{8})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} + 4 y)}^{8})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{8 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{5}$ et $g (y) = y - 2$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y - 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} (5 {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(y^{2} + 4 y)}^{8}$ .

$\frac{5 \cdot {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (1 + 0) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} \cdot 1 - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{8}$ et $g (y) = y^{2} + 4 y$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y^{2} + 4 y$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{8}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (8 {u_{2}}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y^{2} + 4 y$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (8 {(y^{2} + 4 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 4 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 6.4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4 \cdot 1))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 6.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ à partir de $5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ à partir de $5 {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) - 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ à partir de $- 8 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{7} (2 y + 4))$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4}$ à partir de ${(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 8 (y - 2) (2 y + 4))$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 4 y$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{{(y \cdot y + 4 y)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 4$ .

$\frac{{(y (y + 4))}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.3

Appliquez la règle de produit à $y (y + 4)$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 5 (4 y) - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.5

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 8 y - 8 \cdot - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.7

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 8 y + 16) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.8

Développez $(- 8 y + 16) (2 y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 y (2 y + 4) + 16 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 y (2 y) - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 y (2 y) - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.9.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 \cdot 2 y \cdot y - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.9.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 \cdot 2 (y \cdot y) - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 8 \cdot 2 y^{2} - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 8 y \cdot 4 + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.1.4

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 32 y + 16 (2 y) + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.1.5

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 32 y + 32 y + 16 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.1.6

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} - 32 y + 32 y + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.2

Additionnez $- 32 y$ et $32 y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} + 0 + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.9.3

Additionnez $- 16 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 16 y^{2} + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.1.10

Soustrayez $16 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y^{2} + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 4 y$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y \cdot y + 4 y)}^{16}}$

Étape 7.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{16}}$

Étape 7.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 4$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{{(y (y + 4))}^{16}}$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de produit à $y (y + 4)$ .

$\frac{y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{y^{16} {(y + 4)}^{16}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $y^{7}$ et $y^{16}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $y^{7} {(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)$ .

$\frac{y^{7} ({(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{16} {(y + 4)}^{16}}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $y^{16} {(y + 4)}^{16}$ .

$\frac{y^{7} ({(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{16})}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{7} ({(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{16})}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{16}}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à ${(y + 4)}^{7}$ et ${(y + 4)}^{16}$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez ${(y + 4)}^{7}$ à partir de ${(y + 4)}^{7} {(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)$ .

$\frac{{(y + 4)}^{7} ({(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{16}}$

Étape 7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez ${(y + 4)}^{7}$ à partir de $y^{9} {(y + 4)}^{16}$ .

$\frac{{(y + 4)}^{7} ({(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{{(y + 4)}^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{9})}$

Étape 7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 4)}^{7} ({(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64))}{{(y + 4)}^{7} (y^{9} {(y + 4)}^{9})}$

Étape 7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 11 y^{2} + 20 y + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 11 y^{2}$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2}) + 20 y + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $20 y$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2}) - (- 20 y) + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (11 y^{2}) - (- 20 y)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2} - 20 y) + 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.8

Réécrivez $64$ comme $- 1 (- 64)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2} - 20 y) - 1 (- 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (11 y^{2} - 20 y) - 1 (- 64)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (11 y^{2} - 20 y - 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.10

Réécrivez $- (11 y^{2} - 20 y - 64)$ comme $- 1 (11 y^{2} - 20 y - 64)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 1 (11 y^{2} - 20 y - 64))}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$

Étape 7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(y - 2)}^{4} (11 y^{2} - 20 y - 64)}{y^{9} {(y + 4)}^{9}}$