Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(y - 1)}^{4}}{{(y^{2} + 2 y)}^{8}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = {(y - 1)}^{4}$ et $g (y) = {(y^{2} + 2 y)}^{8}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{({(y^{2} + 2 y)}^{8})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} + 2 y)}^{8})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{8 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{4}$ et $g (y) = y - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (4 {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(y^{2} + 2 y)}^{8}$ .

$\frac{4 \cdot {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (1 + 0) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} \cdot 1 - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{8}$ et $g (y) = y^{2} + 2 y$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{8}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (8 {u_{2}}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (8 {(y^{2} + 2 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 6.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2 \cdot 1))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ à partir de $4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ à partir de $4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3}$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ à partir de $- 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) + 4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ à partir de $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) + 4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 2 (y - 1) (2 y + 2))$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 2 y$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{4 {(y \cdot y + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{4 {(y \cdot y + y \cdot 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{4 {(y (y + 2))}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.3

Appliquez la règle de produit à $y (y + 2)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y + (- 2 y - 2 \cdot - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y + (- 2 y + 2) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.3

Développez $(- 2 y + 2) (2 y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y + 2) + 2 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.4

Associez les termes opposés dans $- 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot 2$ .

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Étape 7.1.4.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 2 y \cdot 2$ et $2 (2 y)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.4.2

Additionnez $- 2 \cdot 2 y$ et $2 \cdot 2 y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) + 0 + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.4.3

Additionnez $- 2 y (2 y)$ et $0$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.4.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.5.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.4.5.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.5.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 y^{2} + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.5.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 4 y^{2} + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.4.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 4 y^{2} + 4)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $4 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + 2 y$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y \cdot y + 2 y)}^{16}}$

Étape 7.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y \cdot y + y \cdot 2)}^{16}}$

Étape 7.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y (y + 2))}^{16}}$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de produit à $y (y + 2)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{16} {(y + 2)}^{16}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $y^{7}$ et $y^{16}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)$ .

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{16} {(y + 2)}^{16}}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $y^{16} {(y + 2)}^{16}$ .

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{16})}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{16})}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{16}}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à ${(y + 2)}^{7}$ et ${(y + 2)}^{16}$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez ${(y + 2)}^{7}$ à partir de $4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)$ .

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{16}}$

Étape 7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.2.1

Factorisez ${(y + 2)}^{7}$ à partir de $y^{9} {(y + 2)}^{16}$ .

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{{(y + 2)}^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{9})}$

Étape 7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{{(y + 2)}^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{9})}$

Étape 7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2}) + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2}) - (- 2 y) + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y) + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.8

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (- 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y - 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.10

Réécrivez $- (3 y^{2} - 2 y - 4)$ comme $- 1 (3 y^{2} - 2 y - 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- 1 (3 y^{2} - 2 y - 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(4 {(y - 1)}^{3}) (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Étape 7.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(4 {(y - 1)}^{3}) (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$ .

$- \frac{4 {(y - 1)}^{3} (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$