Calcul infinitésimal Exemples

$y = x {(x^{3} + 7)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 7)}^{5}] + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{3} + 7$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 7$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$x (15 {(x^{3} + 7)}^{4} x^{2}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} x^{1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \cdot 1$

Étape 8

Multipliez ${(x^{3} + 7)}^{5}$ par $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Factorisez ${(x^{3} + 7)}^{4}$ à partir de $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez ${(x^{3} + 7)}^{4}$ à partir de $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4})$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Étape 9.1.2

Factorisez ${(x^{3} + 7)}^{4}$ à partir de ${(x^{3} + 7)}^{5}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$

Étape 9.1.3

Factorisez ${(x^{3} + 7)}^{4}$ à partir de ${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15) + x^{3} + 7)$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Déplacez $15$ à gauche de $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (15 \cdot x^{3} + x^{3} + 7)$

Étape 9.2.2

Additionnez $15 x^{3}$ et $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (16 x^{3} + 7)$