Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \ln^{2} (11 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln^{2} (11 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (11 x)] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (11 x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (11 x)$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (11 x)$ .

$x (2 \ln (11 x) \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 11 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $11 x$ .

$x (2 \ln (11 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [11 x])) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$x (2 \ln (11 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [11 x])) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $11 x$ .

$x (2 \ln (11 x) (\frac{1}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x])) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{11 x}$ et $2$ .

$x (\frac{2}{11 x} \ln (11 x) \frac{d}{d x} [11 x]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{11 x}$ et $\ln (11 x)$ .

$x (\frac{2 \ln (11 x)}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{2 \ln (11 x)}{11 x}$ et $x$ .

$\frac{2 \ln (11 x) x}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (11 x) x}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (11 x)}{11} \frac{d}{d x} [11 x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \ln (11 x)}{11} (11 \frac{d}{d x} [x]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $11$ et $\frac{2 \ln (11 x)}{11}$ .

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$\frac{22 \ln (11 x)}{11} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4.3

Annulez le facteur commun à $22$ et $11$ .

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Étape 4.4.3.1

Factorisez $11$ à partir de $22 \ln (11 x)$ .

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.3.2.1

Factorisez $11$ à partir de $11$ .

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11 (1)} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (11 x)}{1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4.3.2.4

Divisez $2 \ln (11 x)$ par $1$ .

$2 \ln (11 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (11 x) \cdot 1 + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \ln (11 x) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (11 x) + \ln^{2} (11 x) \cdot 1$

Étape 4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.1

Multipliez $\ln^{2} (11 x)$ par $1$ .

$2 \ln (11 x) + \ln^{2} (11 x)$

Étape 4.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln^{2} (11 x) + 2 \ln (11 x)$