Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \cos (5 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (5 x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{2})] + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2}$ .

$x (- \sin (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \sin (5 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x (- 5 \sin (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- 5 \sin (5 x^{2}) (2 x)) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x (- 10 \sin (5 x^{2}) x) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (- 10 \sin (5 x^{2})) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (- 10 \sin (5 x^{2})) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (- 10 \sin (5 x^{2})) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (- 10 \sin (5 x^{2})) + \cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 10 \sin (5 x^{2})) + \cos (5 x^{2}) \cdot 1$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $\cos (5 x^{2})$ par $1$ .

$x^{2} (- 10 \sin (5 x^{2})) + \cos (5 x^{2})$

Étape 9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 10 x^{2} \sin (5 x^{2}) + \cos (5 x^{2})$